Multiples de 29 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , l'entier  \(28^{2n+1}+30^n\) est un multiple de \(29\) .

Solution

• D'une part : \(28 \equiv -1 \ [29]\) , donc 
  \(\begin{align*}28^{2n+1} \equiv (-1)^{2n+1}\equiv ((-1)^2)^n \times (-1)\equiv 1^n \times (-1)\equiv 1 \times -1\equiv -1 \ [29]\end{align*}\) .
  
• D'autre part : \(30 \equiv 1 \ [29]\) , donc  \(\begin{align*}30^n\equiv 1^n\equiv 1 \ [29]\end{align*}\) .
  

Par conséquent : \(\begin{align*}28^{2n+1}+30^n \equiv -1+1 \equiv 0 \ [29]\end{align*}\)

donc \(28^{2n+1}+30^n\) est un multiple de \(29\) .